BLATT   >   Grundlagen   >   Mathematik Arbeitsmaterialien  |  Grundlagen  |  H-Wahlen  |  Statistiken  |  Unirecht  
    ▸ bersichten       ▸ Astronomie       ▸ C-Library       ▸ Digitales       ▸ Mathematik       ▸ Periodensystem
bersichten
    Grenvorstze
    SI-Basisgren
    abgeleitete Gren
    Konstanten
    sonstige Einheiten
    Greek Chars
    Einheitskonten
    Funktionsgrafik
    Wellenformen
    Zeichensatz

Astronomie
    Astrophysik
    Sonnensystem
    Sternenklassen

C-Library
    math.h
    stdio.h
    stdlib.h
    string.h
    time.h

Digitales
    Aussagelogik
    Flip-Flops
    Decoder

Mathematik
    Algebra
    Geometrie
    Trigonometrie
    Differenzieren
    Integrieren

Periodensystem
    bersicht
    alphabetisch
    Aggregatzustand
    Metall-Eigenschaft
    Sure-Eigenschaft

Wrterbcher
Integralrechnung

unbestimmtes Integral

∫ f(x) dx  =  F(x) + c

f(x) ... Integrand
F(x) ... Stammfunktion von f(x)
x... Integrationsvariable
c... Integrationskonstante

bestimmtes Integral

A  =  b

a
 f (x) dx  =  F(x) b

a

  =  F(a) - F(b)

f(x) ... stetige Funktion in <a, b>
F(x) ... Stammfunktion von f(x) an den Grenzen a und b
A... Flche zwischen x-Achse und dem Graph im Intervall <a, b>
a... untere Integrationsgrenze
b... obere Integrationsgrenze

uneigentliche Integrale

+∞

a
 f(x) dx  =   
lim
b→+∞
 b

a
 f(x) dx

b

-∞
 f(x) dx  =   
lim
a→–∞
 b

a
 f(x) dx
+∞

-∞
 f(x) dx  =   

lim
a→–∞
b→+∞

 b

a
 f(x) dx

Grundintegrale

xⁿ dx  =    xn+1
n + 1
 + c      n ≠ -1; x≠0 bei n <0
 
∫ dx
 x 
  =ln |x| + c
 
∫ ex dx  =ex + c
 
∫ ax dx  = ax
ln a
 + c      a > 0; a ≠ 1
 
∫ sin x dx  =- cos x + c
 
∫ cos x dx  =sin x + c
 
∫ tan x dx  =- ln |cos x| + c      x ≠ (2k+1)π/2
 
∫ cot x dx  =ln |sin x| + c      x ≠ 2kπ
 
∫ dx
sin² x
  =- cot x + c      x ≠ kπ
 
∫ dx
cos² x
  =tan x + c      x ≠ (2k+1)π/2
 
∫ sinh x dx  =cosh x + c
 
∫ cosh x dx  =sinh x + c
 
∫ tanh x dx  =ln cosh x + c
 
∫ coth x dx  =ln |sinh x| + c      x ≠ 0
 
∫ dx
sinh² x
  =- coth x + c      x ≠ 0
 
∫ dx
cosh² x
  =tanh x + c
 
∫ dx
a² + x²
  =
1
a
  arctan x
a
 + c      a ≠ 0
 
∫ dx
a² - x²
  =
1
a
  artanh x
a
 + c      |x| < a
 
  =
1
2a
  ln a - x
a + x
 + c      |x| < a
 
∫ dx
a² - bx²
  =
1
a
  artanh x√b
a
 + c      |x| < a
 
  =
1
2a
  ln a - x√b
a + x√b
 + c      |x| < a
 
∫ dx
x² - a²
  =
1
a
  arcoth x
a
 + c      |x| > a; a ≠ 0
 
  =
1
2a
  ln x - a
x + a
 + c      |x| > a; a ≠ 0
 
∫ dx
√(a² - x²)
  =
arcsin x
a
 + c      |x| < a
 
∫ dx
√(a² + x²)
  =
arsinh x
a
 + c
 
  =ln (x + √(a² + x²) + c
 
∫ dx
√(x² - a²)
  =
arcosh x
a
 + c      |x| > a; a ≠ 0
 
  =ln (x + √(x² - a²) + c      |x| > a; a ≠ 0

Integrationsregeln

∫ (f1(x) + f2(x)) dx  =  ∫ f1(x) dx + ∫ f2(x) dx
 
∫ af(x) dx  =a ∫ f(x)
 
∫ f(x) f '(x) dx  =½ f²(x) + c
 
∫ f '(x)
f(x)
 dx
  =ln |f²(x)| + c
 
∫ [f(x)]ⁿ f '(x) dx  =
[f(x)]n+1
  n + 1  
 + c
 
b

a
 f(x) dx
  =
a

b
 f(x) dx
 
a

a
 f(x) dx
  =0
 
b

a
 f(x) dx
  =
c

a
 f(x) dx  +  b

c
 f(x) dx


ausgewhlte Integrale

Integrale rationaler Funktionen

∫ (ax + b)ⁿ dx  =  (ax+b)n+1
 a (n+1) 
  + c      n ≠ -1

∫ dx
ax + b
  =  1
a
  ln |ax + b|  + c

x(ax + b)ⁿ dx  =  a(n+1)x - b
a²(n+1)(n+2)
  (ax+b)n+1  + c      n ≠ -1, -2

∫ xdx
ax + b
  =  x
a
 - b
  ln |ax + b|  + c

∫ xdx
(ax + b)²
  =  b
a² (ax + b)
 + 1
  ln |ax + b|  + c

∫ xdx
(ax + b)ⁿ
  =  a(1-n)x - b
a²(n-1)(n-2)(ax + b)n-1
  + c      n ≠ 1, 2

x²(ax+b)ⁿ dx = 1
((ax+b)n+3
   n + 3   
 - 2b(ax+b)n+2
    n + 2    
 + b²(ax+b)n+1
    n + 1    
) + c

∫ x²dx
ax + b
  =  1
 (½(ax+b)² - 2b(ax+b) + b²ln |ax+b|)  + c

∫ x²dx
(ax + b)²
  =  1
  (ax + b - 2bln |ax+b| - 
ax+b
)  + c

∫ x²dx
(ax + b)³
  =  1
  (ln |ax+b| + 2b
ax+b
 - 
2(ax+b)²
)  + c

∫ x²dx
(ax + b)ⁿ
  =  1
  ((ax+b)3-n
   3 - n   
 + 2b(ax+b)2-n
      n - 2      
 - b²(ax+b)1-n
     n - 1     
)  + c

∫ dx
(x² + a)ⁿ
  =  x(x²+a)1-n
(n - 1) 2a
 + 2n - 3
(n-1) 2a
  ∫ dx
(x² + a)n-1
  + c

∫ dx
x(ax + b)
  =  1
b
  ln |ax + b
x
|  + c      b ≠ 0

∫ dx
x(ax + b)²
  =  1
  (ln |ax + b
x
| - b
ax + b
)  + c      b ≠ 0

∫ dx
x²(ax + b)
  =  1
bx
 + a
  ln |ax + b
x
|  + c      b ≠ 0

∫ dx
x²(ax + b)²
  =  - a(1
b²(ax+b)
 + 1
ab²x
 - 2
  ln |ax+b
x
|)  + c      b ≠ 0

∫ dx
x² + a²
  =  1
a
  arctan x
a
  + c

∫ dx
x² - a²
  = - 1
a
  artanh x
a
  + c  =  1
2a
  ln a - x
a + x
  + c      |x| < a
 
∫ dx
x² - a²
  = - 1
a
  arcoth x
a
  + c      |x| > a

∫ dx
ax² + bx + c
  =  -2
2ax + b
  + k      4ac-b² = 0

∫ dx
ax² + bx + c
  =  2
√(4ac - b²)
  arctan 2ax + b
√(4ac - b²)
  + k      4ac-b² > 0

∫ dx
ax² + bx + c
  =  -2
√(b² - 4ac)
  artanh 2ax + b
√(b² - 4ac)
  + k      4ac-b² < 0

∫ xdx
ax² + bx + c
  =  1
2a
  ln |ax² + bx + c| - b
2a
∫ dx
ax² + bx + c

∫ dx
x(ax² + bx + c)
  =  1
2c
  ln |
ax² + bx + c
| - b
2c
∫ dx
ax² + bx + c

Integrale irrationaler Funktionen

∫ √(a² + x²) dx  =  x
 2 
  √(a² + x²) + 
 2 
  arsinh x
 a 
  + c

∫ √(a² - x²) dx  =  x
 2 
  √(a² - x²) + 
 2 
  arcsin x
 a 
  + c

∫ √(x² - a²) dx  =  x
 2 
  √(x² - a²) - 
 2 
  arcosh |x
 a 
|  + c

x √(a² + x²) dx  =  1
 3 
  √((a² + x²)³)  + c

x √(a² - x²) dx  =  - 1
 3 
  √((a² - x²)³)  + c

x √(x² - a²) dx  =  1
 3 
  √((x² - a²)³)  + c

∫ √(a² + x²) dx
x
  =  √(a² + x²) - aln |a + √(a² + x²)
x
|  + c

∫ √(a² - x²) dx
x
  =  √(a² - x²) - aln |a + √(a² - x²)
x
|  + c

∫ √(x² - a²) dx
x
  =  √(x² - a²) - aarccos  a 
x
  + c

∫ dx
√(a² + x²)
  =  arsinh  x 
a
  + c

∫ dx
√(a² - x²)
  =  arcsin  x 
a
  + c

∫ dx
√(x² - a²)
  =  arcosh  x 
a
  + c

∫ x dx
√(a² + x²)
  =  √ (a² + x²)  + c

∫ x dx
√(a² - x²)
  =  - √ (a² - x²)  + c

∫ x dx
√(x² - a²)
  =  √ (x² - a²)  + c

∫ dx
x √(a² + x²)
  =  -  1 
a
  ln | a + √(a² + x²) 
x
|  + c

∫ dx
x √(a² - x²)
  =  -  1 
a
  ln | a + √(a² - x²) 
x
|  + c

∫ dx
x √(x² - a²)
  =   1 
a
  arccos  a 
x
  + c

Integrale von Winkelfunktionen

∫ sin (ax) dx  = - 1
 a 
  cos (ax)  + c

∫ cos (ax) dx  =  1
 a 
  sin (ax)  + c

∫ tan (ax) dx  = - 1
 a 
  ln |cos (ax)|  + c

∫ cot (ax) dx  =  1
 a 
  ln |sin (ax)|  + c

Integrale von Hyperbelfunktionen

∫ sinh (ax) dx  =  1
 a 
  cosh (ax)  + c

∫ cosh (ax) dx  =  1
 a 
  sinh (ax)  + c

∫ tanh (ax) dx  =  1
 a 
  ln |cos (ax)|  + c

∫ coth (ax) dx  =  1
 a 
  ln |sinh (ax)|  + c

Integrale von Exponentialfunktionen

∫ e ax dx  =  1
 a 
  e ax  + c

x e ax dx  =  e ax
  a²  
  (ax-1)  + c

Integrale von Logarithmen

∫ ln x dx  =  x ln x - x  + c

x ln x dx  =  ½ x² (ln x - ½)  + c

x² ln x dx  =  x³ (ln x - ⅓)  + c