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Differentialrechnung

dy = f '(X) dx

Ableitung der elementaren Funktionen

const' =  0
x'=1
(xn)'=n·xn-1    x ≠ 0 bei n <0
(nx)'=nx·ln n
(ex)'=ex
(ln x)'=1/x
(log x)'=1/x · log e
(loga x)'=1/x · loga e = 1/(x · ln a)    a ≠ 1 und a,x > 0
(sin x)'=cos x
(cos x)'=- sin x
(tan x)'  =1 / cos² x = 1 + tan² x    x ≠ π/2
(cot x)'=1 / sin² x = -(1+cot² x)    x ≠ π
(arcsin x)'=1 / √(1 - x²)    |x| < 1
(arccos x)'=-1 / √(1 - x²)    |x| < 1
(arctan x)'=1 / (1 + x²)
(arccot x)'  =-1 / (1 + x²)
(sinh x)'=cosh x
(cosh x)'=sinh x
(tanh x)'=1/cosh² x = 1 - tanh² x
(coth x)'=-1/sinh² x = 1 - coth² x
(arsinh x)'  =1 / √(1 + x²)
(arcosh x)'=±1/ √(x² - 1)    |x| > 1
(artanh x)'=1 / (1 - x²)    |x| < 1
(arcoth x)'=1 / (1 - x²)    |x| > 1
(ln f(x))'=f '(x) / f(x)

Grundregeln

(a·f(x))'= a · f '(x)
(f1(x) + f2(x))' = f1'(x) + f2'(x)
(f1(x) - f2(x))'= f1'(x) - f2'(x)
(f1(x) · f2(x))'= f1'(x) · f2(x) + f1(x) · f2'(x)
(f1(x) / f2(x))'= ( f1'(x) · f2(x) - f1(x) · f2'(x) ) / f2²(x)
(f1(f2 (x)))'= f1'(f2(x)) · f2'(x)
(f1(x) ·f2(x) ·f3(x))' = f1'(x)·f2(x)·f3(x) + f1(x)·f2'(x)·f3(x) + f1(x)·f2(x)·f3'(x)
 
Sonderfälle
 
(1 / f(x))'= f '(x) / f²(x)
(√ x)'= 1 / (2·√ x)

Potenzfunktion

(f1(x)f2(x))' = (f2'(x)·ln(f1(x)) + f2(x)·f1'(x)/f1(x)) · f1(x)f2(x)

Umkehrfunktion

(f-1)'· f(x0)  1  
f '(x0)

Leibnizsche Formel

(f1(x) · f2(x))(n-te)n

k=0
 (n
k
· f1(x)k · f2(x)n-k

ausgewählte n-te Ableitungen

(xm)(n-te)= m · (m-1) · ... · (m-n+1) · xm-n
(xn)(n-te)= n!    n ε N
(ax)(n-te)  = ax · (ln a)n    a > 0
(ex)(n-te)  = ex
(ex)(n-te)  = mn · ex
(ln x)(n-te)  = (-1)n+1 · (n-1)! / xn
(loga x)(n-te)  = (-1)n+1 · (n-1)! / (xn · ln a)    a≠1; a,x > 0
(sin x)(n-te)  = sin (x + n·π/2)
(cos x)(n-te)  = cos (x + n·π/2)
(sin m·x)(n-te)  = mn · sin (m·x + n·π/2)
(cos m·x)(n-te)  = mn · cos (m·x + n·π/2)
(sinh x)(n-te)  = sinh x    gerade n
(sinh x)(n-te)  = cosh x    ungerade n
(cosh x)(n-te)  = cosh x    gerade n
(cosh x)(n-te)  = sinh x    ungerade n