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Trigonometrie

Ebene – Dreieckstrigonometrie

Winkelsummen

Innenwinkel:  α + β + γ = 180°
Außenwinkel:  α1 + β1 + γ1 = 360°

α1 = β + γ
β1 = α + γ
γ1 = α + β

Sinussatz

 b 
c
 =  sin β 
sin γ
      c 
a
 =  sin γ 
sin α
      a 
b
 =  sin α 
sin β

a
sin α
 =  b
sin β
 =  c
sin γ
 = 2·r

Cosinussatz

a² = b² + c² - 2·b·c· cos α
b² = a² + c² - 2·a·c· cos β
c² = a² + b² - 2·a·b· cos γ

cos α =  b²+c²-a² 
2·b·c
     cos β =  a²+c²-b² 
2·a·c
     cos γ =  a²+b²-c² 
2·a·b

a² + b·c·cos α = b² + a·c·cos β = c² + a·b·cos γ =  a²+b²+c² 
2

Projektionssatz

a = b·cos γ + c·cos β
b = a·cos γ + c·cos α
c = a·cos β + b·cos α

Mollweidesche Formeln

 a+b 
c
 =   cos ½·(α-β) 
sin ½·γ
         a-b 
c
 =   sin ½·(α-β) 
cos ½·γ

 b+c 
a
 =   cos ½·(β-γ) 
sin ½·α
         b-c 
c
 =   sin ½·(β-γ) 
cos ½·α

 c+a 
b
 =   cos ½·(γ-α) 
sin ½·β
         c-a 
b
 =   sin ½·(γ-α) 
cos ½·β

Tangenssatz

 b+c 
b-c
 =   tan ½·(β+γ) 
tan ½·(β-γ)
 =   cot ½·α 
tan ½·(β-γ)

 a+b 
a-b
 =   tan ½·(α+β) 
tan ½·(α-β)
 =   cot ½·γ 
tan ½·(α-β)

 c+a 
c-a
 =   tan ½·(γ+α) 
tan ½·(γ-α)
 =   cot ½·β 
tan ½·(γ-α)

Seitensätze

a + b > c       |a - b| < c
b + c > a       |b - c| < a
a + c > b       |a - c| < b

Halbwinkelsätze

Hilfsvariable:   s =  a+b+c 
2

sin  α 
2
 = √ (s-b) · (s-c)
b·c
      cos  α 
2
 = √ s · (s-a)
b·c

sin  β 
2
 = √ (s-a) · (s-c)
a·c
      cos  β 
2
 = √ s · (s-b)
a·c

sin  γ 
2
 = √ (s-a) · (s-b)
a·b
      cos  γ 
2
 = √ s · (s-c)
a·b

tan  α 
2
 = √ (s-b) · (s-c)
s · (s-a)

tan  β 
2
 = √ (s-a) · (s-c)
s · (s-b)

tan  γ 
2
 = √ (s-a) · (s-b)
s · (s-c)

Seitenhalbierende

sa  =  ½·√(2·(b²+c²) - a²)  =  ½·√(b²+c²+ 2·b·c· cos α)
sb  =  ½·√(2·(a²+c²) - b²)  =  ½·√(a²+c²+ 2·a·c· cos β)
sc  =  ½·√(2·(a²+b²) - c²)  =  ½·√(a²+b²+ 2·a·b· cos γ)

Höhen

ha : hb : hc  =   1 
a
 :  1 
b
 :  1 
c

ha = b·sin γ = c·sin β
hb = a·sin γ = c·sin α
hc = a·sin β = b·sin α

Umkreis

ru a
sin α
 =  b
sin β
 =  c
sin γ
 =  b·c
2·ha
 =  a·c
2·hb
 =  a·b
2·hc

Inkreis

ri A 
s
 = √ (s-a) · (s-b) · (s-c)
s

ri = (s-a)·tan  α 
2
 = (s-b)·tan  β 
2
 = (s-c)·tan  γ 
2

ri = s·tan  α 
2
·tan  β 
2
·tan  γ 
2

ri = 4·ru·sin  α 
2
·sin  β 
2
·sin  γ 
2

Flächeninhalte

A = a·b·c
4·r
 = a·ha
2
 = b·hb
2
 = c·hc
2
 = √(s·(s-a)·(s-b)·(s-c))

A = ½·a·b·sin γ = ½·b·c·sin α = ½·a·c·sin β

A = a²·sin β·sin γ
sin α
 = b²·sin α·sin γ
sin β
 = c²·sin α·sin β
sin γ

A = 2·ru²·sin α·sin β·sin γ

A = ri²·cot  α 
2
·cot  β 
2
·cot  γ 
2

A = s²·tan  α 
2
·tan  β 
2
·tan  γ 
2

rechtwinkliges Dreieck

a² + b² = c²

sin α =   a 
c
 =   Gegenkathete 
Hypotenuse
cos α =   b 
c
 =    Ankathete  
Hypotenuse
tan α =   a 
b
 =   Gegenkathete 
Ankathete
cot α =   b 
a
 =    Ankathete  
Gegenkathete


Raum – sphärisches Dreieck

Sinussatz

sin a : sin b : sin c   =   sin α : sin β : sin γ

Seiten-Cosinussatz

cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos α
cos b = cos a · cos c + sin a · sin c · cos β
cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos γ

Winkel-Cosinussatz

cos α = - cos β · cos γ + sin β · sin γ · cos a
cos β = - cos α · cos γ + sin α · sin γ · cos b
cos γ = - cos α · cos β + sin α · sin β · cos c


Winkelfunktionen

Symmetrie

sin (-x) = - sin x      cos (-x) = cos x
tan (-x) = - tan x      cot (-x) = - cot x

Komplement

sin x = cos ( π 
2
 - x)
cos x = sin ( π 
2
 - x)
tan x = cot ( π 
2
 - x)
cot x = tan ( π 
2
 - x)

Periodizität

sin x = sin (x + k·2·π)      cos x = cos (x + k·2·π)
tan x = tan (x + k·π)      cot x = cot (x + k·π)

besondere Winkel

sincostancot
010±∞0
30°½½·√3 ⅓·√3 √3π/6
45° ½·√2  ½·√2 11π/4
60°½·√3½√3 ⅓·√3 π/3
90°10±∞0π/2
180°0-10±∞π
270°-10±∞0 3·π/2
360°010±∞π

Zusammenhang bei gleichen Winkeln

sin² x + cos² x =1

tan x = sin
cos x

1 + tan² x = 1
cos² x

1 + cot² x = 1
sin² x

sin x = ± √(1 - cos² x) = ± tan x
√(1 + tan² x)
 = ± 1
√(1 + cot² x)

cos x = ± √(1 - sin² x) = ± 1
√(1 + tan² x)
 = ± cot x
√(1 + cot² x)

tan x = ± sin x
√(1 - sin² x)
 = ± √(1 - cos² x)
cos x
 = 1
cot x

cot x = ± √(1 - sin² x)
sin x
 = ± cos x
√(1 - cos² x)
 = 1
tan x

Additionstheoreme

sin (α ± β) = sin α·cos β ± cos α·sin β
cos (α ± β) = cos α·cos β ± -sin α·cos β

tan (α ± β) = tan α ± tan β
1 ± -tan α · tan β
 = sin (α ± β)
cos (α ± β)

cot (α ± β) = cot α · cot β ± -1
cot β ± cot α
 = cos (α ± β)
sin (α ± β)

sin (α + β) · sin (α - β) = cos² β - cos² α
cos (α + β) · cos (α - β) = cos² β - sin² α

Summen und Differenzen

sin α + sin β = 2·sin α + β
2
 · cos α - β
2

sin α - sin β = 2·cos α + β
2
 · sin α - β
2

cos α + cos β = 2·cos α + β
2
 · cos α - β
2

cos α - cos β = -2·sin α + β
2
 · sin α - β
2

tan α + tan β = sin (α + β)
cos α · cos β

tan α - tan β = sin (α - β)
cos α · cos β

cot α + cot β = sin (α + β)
sin α · sin β

cot α - cot β = sin (β - α)
sin α · sin β

cos α + sin α = √2 · sin (45° + α) = √2 · cos (45° - α)
cos α - sin α = √2 · sin (45° - α) = √2 · cos (45° + α)

doppelte Winkel

sin 2·α = 2·sin α·cos α = 2 · tan α
1 + tan² α

cos 2·α = cos² α - sin² α = 1-2·sin² α = 2·cos² α - 1 = 1 - tan² α
1 + tan² α

tan 2·α = tan α
1 - tan² α
 = 2
cot α - tan α

cot 2·α = cot² α - 1
2·cot α
 = cot α - tan α
2

halbe Winkel

sin  α 
2
 = ± √1 - cos α
2

cos  α 
2
 = ± √1 + cos α
2

tan  α 
2
 = ± √1 - cos α
1 + cos α
 = 1 - cos α
sin α
 = sin α
1 + cos α

cot  α 
2
 = ± √1 + cos α
1 - cos α
 = 1 + cos α
sin α
 = sin α
1 - cos α

vielfache Winkel

sin 3·α = 3·sin α - 4·sin³ α
sin 4·α = 8·sin α · cos³ α - 4·sin α · cos α
sin 5·α = 16·sin α · cos4 α - 12·sin α · cos² α + sin α

cos 3·α = 4·cos³ α - 3·cos α
cos 4·α = 8·cos4 α - 8·cos² α + 1
cos 5·α = 16·cos5 α - 20·cos³ α + 5·cos α

tan 3·α = tan α - tan³ α
1 - 3·tan² α

tan 4·α = tan α - 4·tan³ α
1 - 6·tan² α + tan4 α

cot 3·α = cot³ α - 3·cot α
3·cot³ α - 1

cot 4·α = cot4 α - 6·cot² α + 1
  4·cot³ α - 4·cot α  

Produkte

sin α · sin β = ½ · (cos (α-β) - cos (α+β))
cos α · cos β = ½ · (cos (α-β) + cos (α+β))
sin α · cos β = ½ · (sin (α-β) + sin (α+β))

tan α · tan β = tan α + tan β
cot α + cot β
 = - tan α - tan β
cot α - cot β

cot α · cot β = cot α + cot β
tan α + tan β
 = - cot α - cot β
tan α - tan β

tan α · cot β = tan α + cot β
cot α + tan β
 = - tan α - cot β
cot α - tan β

sin α·sin β·sin γ = ¼·(sin(α+β-γ) + sin(β+γ-α) + sin(α+γ-β) - sin(α+β+γ))
cos α·cos β·cos γ = ¼·(cos(α+β-γ) + cos(β+γ-α) + cos(α+γ-β) + cos(α+β+γ))
sin α·sin β·cos γ = ¼·(cos(β+γ-α) - cos(α+β-γ) + cos(α+γ-β) - cos(α+β+γ))
sin α·cos β·cos γ = ¼·(sin(α+β-γ) - sin(β+γ-α) + sin(α+γ-β) + sin(α+β+γ))

Potenzen

sin² x = ½ · (1 - cos 2·x)
sin³ x = ¼ · (3·sin x - sin 3·x)
sin4 x = (cos 4·x - 4·cos 2·x + 3)/8
sin5 x = (10·sin x - 5·sin 3·x + sin 5·x)/16
sin6 x = (10 - 15·cos 2·x + 6·cos 4·x - cos 6·x)/32

cos² x = ½ · (1 + cos 2·x)
cos³ x = ¼ · (3·cos x + cos 3·x)
cos4 x = (cos 4·x + 4·cos 2·x + 3)/8
cos5 x = (10·cos x + 5·cos 3·x + cos 5·x)/16
cos6 x = (10 + 15·cos 2·x + 6·cos 4·x + cos 6·x)/32

tan² x = 1 - cos 2·x
1 + cos 2·x

cot² x = 1 + cos 2·x
1 - cos 2·x

Winkelfunktionen und Eulersche Formel

ei·x = cos x + i·sin x
e-i·x = cos x - i·sin x

sin x = ei·x - e-i·x
     2·i     
cos x = ei·x + e-i·x
      2      

imaginäre Winkel
für x im Bogenmaß

sin i·x = i·sinh x
cos i·x = cosh x
tan i·x = i·tanh x
cot i·x = -i·coth x