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Geometrie

Kreis

π  =  3,141592653589793238462643383279...
r  =  Radius
d  =  Durchmesser

A  =  r2·π
U  =  d·π  =  2·r·π

Kreisausschnitt

A = π·r2·α/360 = b·r/2
U = 2·r + b
b = π·r·α/180

Kreisabschnitt

A = r2/2 · (π·α/180 - sin α)
U = s+b = 2·r·sin (α/2) + π·r·α/180
b = π·r·α/180
s = 2·r·sin (α/2)

 

 

 
Ellipse

A = π · a · b
U ≈ π · (3/2 · (a+b) - √(a·b))

Mittelpunktsgleichung

x2
a2
 + y2
b2
 = 1
 

 
Parabel

Scheitelgleichung

y2 = 2·p·x

Länge des Brennstrahls   PF

l = x0 + p/2

Parabelsegment – senkrecht zur X-Achse

A = 4/3 · x1 · y1

 
Hyperbel

Mittelpunktsgleichung

x2
a2
 - y2
b2
 = 1

Scheitelgleichung

y2 = 2·p·x + p·x2/a

 

 
Dreieck

Satz des Pythagoras: Sind a, b, c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypotenuse, so gilt:

a2 + b2  =  c2

Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse. Daraus folgt:

Fläche des rechtwinkeligen Dreiecks: A = a·b/2

 

Höhensatz des Euklid: Das Quadrat der Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck, ist das Produkt aus den beiden Hypothenusenabschnitten.

h2  =  q · p

Kathetensatz des Euklid:

a2  =  p · c
b2  =  q · c

Tungsatz: Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit Umfang n und dem Flächeninhalt F, gilt für die Hypotenuse c:

c  =  n² – 4·F
2·n

gleichseitiges Dreieck:

alle Innenwinkel haben 60 Grad
h  =  a·√3 / 2
A  =  a·h / 2   =  a2·√3 / 4
U  =  3·a

 
gleichschenkliges Dreieck:

A = c·h / 2
U = 2·a + c
a2 = h2 + c2/4
h = √(a2 - c2/4)

 

Winkelsummen

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad.
Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360 Grad.
Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n-2) · 180 Grad.

Quadrat

A = a2
U = 4 · a
d = a·√2
 
Rechteck

A = a · b
U = 2 · (a+b)
d = √(a2+b2)
 
 
Raute

A = a2 · sin α = a2 · sin β
U = 4 · a
d1 = 2 · a · cos (α/2) = 2 · a · sin (β/2)
d2 = 2 · a · sin (α/2) = 2 · a · cos (β/2)
 
 
Parallelogramm

A = a·ha = b·hb = a·b·sin α
U = 2 · (a + b)
d1 = √((b·sin α)2 + (a+b·cos α)2)
d2 = √((b·sin α)2 + (a-b·cos α)2)
 
 
Trapez

A = ½ · (a+c) · h
U = a + b + c + d
h = b·sin α = b·sin β = d·sin γ = d·sin δ
d1 = √(a2+d2-2·a·d·cos δ)
d2 = √(a2+b2-2·a·b·cos α)

gleichschenkliges Trapez:
b = d,  α = δ,  β = γ,  d1 = d2

U = a + c + 2·b
d1 = √((a+c)2/4 + (b·sin α)2)

 
 
Drache

A = ½ · d1 · d2
U = 2 · (a + b)
d1 = a·cos (γ/2) + b·cos (α/2)
d2 = 2 · b · sin (α/2)
 
 
gleichseitiges Fünfeck

A = a2/4 · √(25 + 10·√5)
U = 5·a
ra = a·√(50+10·√5) / 10
ri = a·√(25+10·√5) / 10
 
 
gleichseitiges Sechseck

A = ½·3·a2·√3
U = 6·a
ra = a
ri = ½·a·√3
 
 
gleichseitiges Achteck

A = 2·a2·(√2 + 1)
U = 8·a
ra = ½·a·√(4+2·√2)
ri = ½·a·(√2+1)
 

Kugel

V = ⅓ · 4 · π · r3
O = 4 · π · r2

Kugelabschnitt

V = 1/6 · π · h2 · (6·r - 2·h)
O = π · h · (4·r - h)
AM = 2 · r · π · h

Kugelausschnitt

V = ⅔ · r2 · π · h

 
 
Würfel

V = a3
O = 6 · a2
d = a · √3
 
 
Quader

V = a · b · c
O = 2 · (a·b + a·c + b·c)
d = √(a2+b2+c2)
 
 
Pyramide

V = ⅓ · AG · h
O = AG + AM
 
 
Tetraeder

V = a3 · √2 / 12
O = a2 · √3
ra = a · √6 / 4
ri = a · √6 / 12
 
 
Oktaeder

V = ⅓ · a3 · √2
O = 2 · a2 · √3
ra = a / √2
ri = a / √6
 
 
Dodekaeder

V = a3 · (15+7·√5) / 4
O = 3 · a2 · √ (5·(5+2·√5))
ra = a · √3 · (1+√5) / 4
ri = a · √ (10·(25+11·√5)) / 20
 
 
Ikosaeder

V = 5 · a3 · (3+√5) / 12
O = 5 · a2 · √3
ra = a · √(2 · (5+√5)) / 4
ri = a · √3 · (3+√5) / 12
 
 
Keil

V = ½·b·h · (2·a1 + a2)
 

Obelisk

V = h/6 · ((2·a1 + a2)·b1 + (2·a2 + a1)·b2)
 

Zylinder

V = r2 · π · h
O = 2 · r · π · (r + h)
AM = 2 · r · π · h

Hohlzylinder

V = π · h · (r12 - r22)

 
 
Kegel

V = ⅓ · AG · h
O = AG + AM

gerader Kreiskegel

V = ⅓ · π·r2 · h
O = π · r · (r + s)
AM = π · r · s

gerader Kegelstumpf

V = ⅓ · π · h · (r12 + r1·r2 + r22)
O = π · (r12 + r22 + s·(r1+r2))
AM = π · s · (r1 + r2)

 

Ellipsoid

V = 4/3 · π · a · b · c

Rotationsellipsoid um a-Achse – länglich (b=c)

V = 4/3 · π · a · b2

Rotationsellipsoid um b-Achse – sphärisch (a=c)

V = 4/3 · π · a2 · b

 
 
Rotationsparaboloid

V = ½ · r2 · π · h

abgestumpfter Rotationsparaboloid

V = ½ · π · h · (r12 + r22)

 
 
Rotationshyperboloid

einschalig

V = ⅓ · π · h · (2·a2 + r2)

 
 
Tonne

elliptische Krümmung

V = ⅓ · π · h · (2·r22 + r12)

parabolische Krümmung

V = 1/15 · π · h · (8·r2 + 4·r1·r2 + 3·r12)

 
 
Torus

V = 2 · π2 · r2 · R
O = 4 · π2 · r · R